Makalah masalah nilai awal dan syarat batas

KATA PENGANTAR

Dengan mengucap puji syukur kehadirat Allah SWT, yang telah memberikan berkah dan karunianya,sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini dengan baik.

Makalah ini berisi mengenai PD dan Masalah Nilai Awal (MNA),

( Persamaan Differensial, solusi Persamaan Differensial, dan Masalah Nilai Awal ).

Akhirnya kami menyadari sepenuhnya bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu dengan segala kerendahan hati, kami mohon perkenan para pembaca dan rekan guru untuk memberikan saran atau kritik membangun demi perbaikan makalah ini. Untuk itu kami mengucapkan terimakasih.

Palembang,    September 2015

i

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI...................................................................................................................... i

KATA PENGANTAR........................................................................................................ ii

BAB 1 PEMBAHASAN

a.       Persamaan Differensial.............................................................................................. 1

b.      Solusi Persamaan Differensial.................................................................................. 3

c.       Masalah Differensial................................................................................................ 4

Soal-soal.................................................................................................................. 6

Penyelesaian ........................................................................................................... .7

ii

BAB 1

PEMBAHASAN

1.         Persamaan diferensial

Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan satu atau beberapa fungsi yang tidak diketahui. Jika fungsi yang tidak diketahui mengandung satu variabel bebas maka turunan fungsi itu dinamakan turunan biasa dan persamaan diferensialnya disebut persamaan diferensial biasa. Jika fungsi yang tak diketahui mengandung dua atau lebih variabel bebas maka turunannya akan berupa turunan parsial dan persamaan diferensialnya dinamakan persamaan persamaan diferensial parsial.

Orde atatu tingkat dari suatu persamaan diferensial adalah turunan yang tertinggi dalam persamaan diferensial itu . derajat atau pangkat dari suatu persamaan diferensial adalah derajat tertinggi dari turunan yang tertinggi dalam persamaan diferensial tersebut.

Dari beberapa tipe persamaan diferensial orde satu yang mudah di selesaikan ada dua yang perlu mendapat perhatian : persamaan diferensial peubah terpisah yaitu persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk

                y’ =  p(x) dx = Q(y) dy

            Dan persamaan diferensial linier, adalah persamaan yang dapat di tulis dalam         bentuk : y’ + a(x)y = b(x)

Keduanya sering muncul dalam penerapan, dan banyak tipe persamaan diferensial yang lain yang dapat direduksi menjadi salah satu dari kedua tipe itu. Dengan menggunakan pemetaan yang sederhana. Jika ruas kanan pada persamaan diferensial linier di atas sama dengan nol (b(x)=0), maka disebut persamaan diferensial homogen, dan jika tidak maka disebut persamaan diferensial tak homogen.

Contoh :

1.       y’ + xy = 3 adalah persamaan diferensial biasa orde 1, linier, tak homoge.

2.       y’’ + 5y’+6y = 0 adalah persamaan diferensial biasa ordo 2, linier, homogen.

3.       adala persamaan diferensial parsial orde 1, linier, tak homoge.

Proses pembentukan persamaan diferensial

Persamaan diferensial (PD) dalam prakteknya dapat dibentuk dari suatu pertimbangan masalah fisis. Secara matematis, persaman-persamaan diferensial dapat muncul melalui langka-langkah berikut :

1.       Tentukan banyaknya konstanta sembarang

2.       Turunkan persamaan sebanyak konstanta sembarang

3.       Apabila konstanta sembarangnya sudah lenyap maka, itu pesamaan diferensialnya.

Berikut ini adalah beberapa contoh :

Contoh 1 :

Tinjau y = A sin x + B cos x dimana ada 2 konstanta sebarang yaitu A dan B, sehingga persamaan tersebut di turunkan sebanyak dua kali yaitu

  dan

 

Atau   + y = 0  y’’ + y = 0

Dari contoh di atas dapat pula diketahui bahwa suatu persamaan dengan dua konstanta sembarang akan membentuk persamaan diferensial orde dua.

Contoh 2 :

Bentuklah sebuah persamaan diferensial dari fungsi y =  x  +   , diketahui bahwa ada satu konstanta sembarang, karena turunan dari persamaan tersebut tidak identik dengan persamaan awalnya, maka langkah selanjutnya adalah mencari berapa nilai A.

Daripersamaan awal : y =  x  +   kita dapatkan :

                                  = y – x ⇒ A = x(y – x)

Jika persamaan awalnya diturunkan maka,

                                 y = x +Ax^-1

                                 y’ = 1 – Ax^-2   1 -  

Subtitusi nilai A = x(y- x) ke persamaan turunan sehingga diperoleh :

 y’ = 1 –  = 1-   =  =

xy’ = 2x – y  xy’ +y = 2x

2. Solusi Persamaan Differensial

Kajian terhadap persamaan differensial memiliki dua tujuan utama, yaitu :

1.       Menemukan persamaan differensial yang dapat menjelaskan keadaan atau fenomena nyata tertentu.

2.       Menemukan solusi yang sesuai dengan persamaan differensial tersebut.

Solusi dari persamaan defferensial adalah bentuk fungsi yang jika disubstitusikan ke fungsi yang tidak diketahui dalam persamaan tersebut akan memberikan suatu kesamaan.

Perhatikan bentuk y’ = F(x,y), atau dapat pula ditulis dlam bentuk lain, yaitu :

            y’ =  Þ  = F(x,y) atau dy = F(x,y)dx

kaidah ini dapat dipergunakan dalam penyederhanaan persamaan differensial.

Contoh 1 :

Buktikan bahwa y = e^x adalah solusi dari persamaan differensial y” – y = 0.

Bukti :

            y = e^x, turunan pertama yaitu y’ = e^x

                        turunan keduanya yaitu y” = e^x

                jika disubstitusikan kepersamaan differensial akan menghasilkan :

            y” – y = e^x - e^x = 0.

Sehingga terbukti bahwa y = e^x adalah solusi dari y” – y = 0.

Contoh 2 :

Buktikan y = sin2x adalah solusi dari persamaan differensial y” + 4y = 0.

Bukti :

            y = sin2x, turunan pertamanya diperoleh y’ = 2 cos2x,

                            turunan keduanya yaitu y” = -4 sin2x = -4y,

            sehingga didapat kesamaan yaitu y” + 4y = 0

jadi, terbukti bahwa y = sin2x adalah solusi dari  y” + 4y = 0.

            Terdapat beberapa metode yang bias digunakan untuk mencari solusi persamaan differensial. Pada dasarnya, untuk memperoleh solusi dari suatu persamaan differensial digunakan tekhnik pengintegralkan secara langsung dan mungkin pula terlebih dahulu melalui metode pemisahan baru kemudian diintegralkan.

3. Masalah nilai awal

      Perhatikan persamaan berikut : y = e^x + C . C merupakan konstanta sembarang, berapapun nilainya persamaan y = e^x  + C tetap merupakan solusi dari persamaan differensial y” – y = 0. Solusi ini disebut solusi umum dari persamaan differensial, karena mengandung konstanta C berupa nilai khusus, misalnya 2, 3, -4,0, dan sebagainya, maka akan diperoleh solusi khusus. Nilai khusus yang diberikan pada konstanta sembarang itu tergantung pada persyaratan awal yang diberikan pada fungsi solusi tersebut. Hal ini akan menghasilkan konsep Masalah Nilai Awal (MNA).

      Masalah nilai awal yaitu suatu persamaan differensial yang memenuhi kondisi awal tertentu atau syarat awal yang diberikan.

Contoh 1 :

Selesaikan masalah nilai awal berikut :

y’ = cosx ;jika diketahui y(0) = 4 ?

jawab :

y’ = cosx Þ  = cosx Þ dy = cosx dx

jika diintegralkan maka diperoleh :

 =

    y   =  sinx + C

solusi y = sinx + C, merupakan solusi umum dari persamaan differensial diatas. Untuk menyelesaikan MNA, harus didapatkan solusi khususnya.

Perhatikan syarat awal : y(0) = 4, artinya bahwa pada saat x = 0 , y = 4.

Sehingga persamaan solusi menjadi

      y = sinx + C Û y = sin (0) + C = 4

                                                      0   + C  = 4 Û C = 4

Dengan nilai C = 4, maka diperoleh solusi khusus yang merupakan penyelesaian dari MNA diatas yaitu : y = sinx + 4.

Contoh 2 :

selesaikan MNA berikut ini :

xy’ + y = 0, y(1) = 1

jawab :

      xy’ + y = 0 Þ xy’ = - y Þ x  = - y

akan diselesaikan persamaan differensial diatas dengan menggunakan metode pemisah peubah :

 

       x  = - y, kedua ruas dikalikan dengan    sehingga diperoleh :

      x  .  = - y .  Þ  = -  

selanjutnya integralkan kedua ruas :

 Þ ln y + C₁ = - ln x + C₂

                                Þ ln y = - ln x + C

Dengan menggunakan sifat ln maka didapat :

      ln y + ln x = C

      ln(y,x) = C

      e ln(y,x) = ec Þ ec = A

      (y,x) = A Þ y =

Untuk menyelesaikan MNA tersebut maka dari syarat awal y(1) = 1, diperoleh :

y = , dengan y(1) = 1, maka : 1 =  Þ A = 1

jadi, penyelesaian dari MNA xy’ + y = 0, y(1) = 1 adalah :  y =  

soal-soal

1.     Bentuklah persamaan diferensial untuk y = Ax² + Bx

2.     Tentukan persamaan differensial, jika diketahui solusi y = Ae^x+B.

3.     Apakah masalah nilai awal  = x² – xy³, y(1) = 6 mempunyai solusi yang tunggal?

4.     Carilah suatu solusi  dari persamaan differensial   = 2x melalui titik (1,4)?

5.    Apakah masalah nilai awal ,  =  y(2) = 0 mempunyai solusi yang tunggal?

Penyelesaian :

1.       Bentuklah persamaan diferensial untuk y = Ax² + Bx.

Kita dapatkan :                                          y = Ax² + Bx         (1)

                                                                              y’ = 2Ax + B         (2)       

                                                                              y’’ = 2A                (3)

Dari persamaan  (3) diketahui A =  ke persamaan (2) :

y’ = 2Ax + B = 2 x + B = xy’’ + B

y’ = xy’’ + B ⇒ B = y’ – xy’’

Kemudian dengan mensubtitusikan nilai A dan B ke persamaan (1) maka didapat :

y = A+ B x = x² + ( y’ + xy’’)x

    =   + xy’ – x²y’’ =  + xy’

⇔y = +xy’ ⇔ - xy’ –y =0

2.       Tentukan persamaan differensial, jika diketahui solusi y = Ae^x+B.

Jawab :

Jika persamaan tersebut ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana  maka diperoleh : y = Ae^x+B = Ae^x e^B = (Ae^B)e^x,

Karena Ae^B = C maka didapat : y = Ce^x

Jumlah  konstanta sembarang yang ada pada persamaan solusi adalah sebanyak satu, maka persamaan tersebut cukup diturunkan satu kali.

y’ =  Ce^x Þ y’ = y  Þ y’ – y = 0

jadi dari solusi y = Ae^x+B , persamaan differensialnya yaitu : y’ – y = 0.

3.      Apakah masalah nilai awal  = x² – xy³, y(1) = 6 mempunyai solusi yang tunggal?

Jawab:

f(x, y) = x² – xy³ dan   = -3xy² merupakan fungsi yang kontinu dalam segiempat yang memuat titik (1, 6). Berarti hipotesis dari teorema 1 dipenuhi. Akibatnya masalah nilai awal mempunyai solusi tunggal dalam suatu interval di sekitar x = 1 dengan bentuk |x–1|≤ hdengan h cukup kecil.

4.      Carilah suatu solusi  dari persamaan differensial   = 2x melalui titik (1,4)?

Jawab :

Diketahui    = 2x , maka dy = 2xdx sehingga : ò dy = ò 2xdx ® y = x² + c

Untuk x = 1, nilai y = 4, maka nilai c yang memenuhi adalah

y = x² + c

4 = 1² + c

C = 3

 Jadi solusi dari  = 2x adalah y = x² + 3

5.      Apakah masalah nilai awal ,  =  y(2) = 0 mempunyai solusi yang tunggal?

Jawab :

f(x, y) =  sehingga = , akan tetapi   tidak kontinu dan tidak didefinisikan di y = 0. Akibatnya tidak ada segiempat yang memuat titik (2, 0) dimana f dan   keduanya kontinu. Karena hipotesis teorema 1 tidak dipenuhi, maka masalah nilai awal tidak mempunyai solusi.

DAFTAR PUSTAKA

Edward, C.H. & penney, David E,; 1993; Elementary differensial Equations with Boundary Value Problems; 3^rd sedition; prentice-hall international.

Finizio, Ladas, Widiarti Santoso; 1998 ; Persamaan differensial Biasa dengan Penerapan Modern ; Jakarta : Erlangga

Herdiana, Heris, Sukasno dan Kusman Engkus,; 2002; Persamaan Differensial; Bamdung: Pustaka Setia.